Fundamento de la potencia en circunferencias tangentes

Para calcular figuras tangentes por el modo de la potencia se opera:
Una circunferencia que, por ejemplo, sea tangente a dos rectas ñ, k, y que pase por un punto U, debe cumplir las siguientes condiciones:
1- Como va ser tangente a dos rectas y en la circunferencia equidistan todos los puntos del centro, el centro debe quedar necesariamente sobre la bisectriz m de ñ y k.
2- Para ello basta con hacer una circunferencia cualquiera (que llamamos auxiliar) tal que pase por U (enunciado del ejercicio) y con centro sobre m.
3- Observamos que por simetría U’ será otro punto de la circunferencia.
4- Todas las circunferencias con centro sobre m y que pasen por U pasarán igualmente por U’ y según vayan creciendo llegará un momento en que toquen a ñ y k.
5- La recta UU’ es un eje común a: b, c, d, al que se denomina eje radical.
6- La intersección de 2 ejes comunes a rectas/ circunferencias es un centro llamado radical F en el que se verifica que las tangentes son iguales t1=t2=t3 como se puede observar en la figura.
7- T3 (PF) determinará el punto P perteneciente a la circunferencia tangente a ñ y a k e incidente en U. Para obtener su centro basta con hacer una perpendicular por P a ñ, donde corte a m es el centro de la circunferencia.















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El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos desde los que todas las tangentes a las circunferencias son iguales. Por ejemplo el punto O, o cualquier punto de p que es el eje radical de a b, se tiene que desde él se pueden trazar las tangentes a ab y son siempre iguales, así, desde O se tiene que t1= t2.
Para calcular el eje radical de 2 circunferencias a b, se hace otra auxiliar c que corte a ambas, por los puntos de intersección se trazan las secantes m n, y en su punto de corte O se hace una perpendicular p a la línea u que une los dos centros de ab. Op es el eje radical de a b.












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Para calcular el centro radical de 3 circunferencias a b h se hace el eje radical de ab y el de bh. La intersección de los dos ejes radicales er1 y er2 es el centro radical CR o punto desde el que todas las tangentes a las 3 circunferencias son iguales: t1=t2=t3=t4.
























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El eje radical es una línea perpendicular a la  línea que une los centros de las circunferencias.

El eje radical h de dos circunferencias azules c d, es el lugar geométrico de los puntos desde los que
todas las tangentes -por ejemplo, segmentos azules desde K- a las circunferencias son iguales.

Si cogemos la intersección del eje radical h con la línea g1 que pasa por los centros de las circunferencias,
desde ese punto de intersección T hacemos las tangentes TU y TV a ambas circunferencias y
sus simétricas TW y TZ, observamos que la bisectriz g1 de ambas tangentes es la línea que une
los centros de las circunferencias de lo que se desprende que necesariamente por ese punto T
desde el que trazamos las tangentes pasa el eje radical.

Si ahora cogemos por ejemplo las tangentes exteriores -líneas rojas jk- a las dos circunferencias azules  cd,
por una cualquiera de ellas -k, p. ej., - podemos coger el punto medio N entre los dos
puntos de tangencia RQ, y ese punto medio pertenece también a la recta h perpendicular
a la línea g1 que une los centros de las circunferencias azules, por tanto el eje radical es una línea perpendicular a la  línea que une los centros de las circunferencias azules.