Fundamento de la potencia

Los ángulos de vértices B D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco. Los ángulos de vértices A C son iguales por ser semiinscritos y abarcar el mismo arco. Con sus ángulos iguales tenemos que los triángulos BCP y DAP son proporcionales. CP/AP=BP/DP CP.DP=BP.AP
Teorema: si hacemos secantes desde P el producto de los segmentos comprendidos entre P y las intersecciones con la circunferencia es constante.













En la figura:
PA=PO-OA, PB=PO+OA, P=PA.PB,
P= (PO-OA). (PO+OA)=(PO.PO)-(OA.OA)
La potencia de P respecto a la circunferencia de centro O es igual a la distancia al cuadrado de PO menos el valor del radio OA al cuadrado.













En efecto:
A=B+C según se acaba de demostrar y como C=D, tenemos que A=B+D, como se puede verificar en el dibujo.












PA.PA=P, La potencia de P respecto a la circunferencia de centro O es igual al cuadrado de la tangente PA desde P a la circunferencia, ya que la tangente es un caso particular de la secante en la que los dos puntos de corte con la circunferencia se confunden o transforman en uno.
Según el teorema del primer apartado P=PB.PB´ , con lo que P=PB.PB´=PA.PA













Determinar x y conocida su media proporcional b y diferencia MN

MN=y-x, b.b = x.y

Se dibuja una circunferencia de diámetro MN y por M se traza una perpendicular de longitud b. Por el extremo T se traza una recta por el centro O de la circunferencia hasta que la corta en dos puntos. De T a esos dos puntos de corte con la circunferencia es la solución x y. En efecto y-x=MN y según el apartado anterior b.b=x.y, de ello se desprende que el cuadrado naranja y rectángulo amarillo tienen el mismo área.














Determinar c b conocida su media proporcional a y suma MÑ
MÑ=c+b, a.a =c.b
Se construye una circunferencia de diámetro MÑ. Por M se traza la perpendicular de longitud a y se desplaza el segmento hasta que corte a la circunferencia en un punto, que unimos con M Ñ. Desde el punto de intersección con la circunferencia trazamos una paralela a la recta a que corta a MÑ en N.
MN y NÑ son los segmentos buscados c b.
Se verifica pues que c+b=MÑ y que a.a=c.b según el teorema de la altura:

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Fundamento de la potencia en circunferencias tangentes

Para calcular figuras tangentes por el modo de la potencia se opera:
Una circunferencia que, por ejemplo, sea tangente a dos rectas ñ, k, y que pase por un punto U, debe cumplir las siguientes condiciones:
1- Como va ser tangente a dos rectas y en la circunferencia equidistan todos los puntos del centro, el centro debe quedar necesariamente sobre la bisectriz m de ñ y k.
2- Para ello basta con hacer una circunferencia cualquiera (que llamamos auxiliar) tal que pase por U (enunciado del ejercicio) y con centro sobre m.
3- Observamos que por simetría U’ será otro punto de la circunferencia.
4- Todas las circunferencias con centro sobre m y que pasen por U pasarán igualmente por U’ y según vayan creciendo llegará un momento en que toquen a ñ y k.
5- La recta UU’ es un eje común a: b, c, d, al que se denomina eje radical.
6- La intersección de 2 ejes comunes a rectas/ circunferencias es un centro llamado radical F en el que se verifica que las tangentes son iguales t1=t2=t3 como se puede observar en la figura.
7- T3 (PF) determinará el punto P perteneciente a la circunferencia tangente a ñ y a k e incidente en U. Para obtener su centro basta con hacer una perpendicular por P a ñ, donde corte a m es el centro de la circunferencia.












El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos desde los que todas las tangentes a las circunferencias son iguales. Por ejemplo el punto O, o cualquier punto de p que es el eje radical de a b, se tiene que desde él se pueden trazar las tangentes a ab y son siempre iguales, así, desde O se tiene que t1= t2.
Para calcular el eje radical de 2 circunferencias a b, se hace otra auxiliar c que corte a ambas, por los puntos de intersección se trazan las secantes m n, y en su punto de corte O se hace una perpendicular p a la línea u que une los dos centros de ab. Op es el eje radical de a b.












Para calcular el centro radical de 3 circunferencias a b h se hace el eje radical de ab y el de bh. La intersección de los dos ejes radicales er1 y er2 es el centro radical CR o punto desde el que todas las tangentes a las circunferencias son iguales: t1=t2=t3=t4.

Ejemplos

En la potencia, como acabamos de ver, seguimos los siguientes pasos:
1- Crear una circunferencia auxiliar arbitraria.
2- Crear ejes radicales.
3- Crear centro radical.
4- Hacer tangente desde el centro radical a la circunferencia dada o auxiliar, obteniendo así los puntos de tangencia .



Circunferencias tangentes a 2 rectas a, b, y que pasen por un punto P.

Creamos una circunferencia auxiliar arbitraria k cuyo centro esté en la bisectriz e de a b y que pase por P.
Creamos el eje radical PL por donde pasarán todas las circunferencias tangentes a ab e incidentes en P.
Marcamos el centro radical CR, intersección de PL y B.
Desde CR todas las tangentes a las circunferencias que pasan por PL serán iguales.
Hacemos la tangente t desde el centro radical CR a la circunferencia auxiliar k, obteniendo el radio que, con centro en CR nos determina X Z en la intersección con b. Z X son los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas, desde los que se hacen perpendiculares a la recta b, obteniendo en la intersección con e los puntos U O, centros de m n respectivamente.













Circunferencia incidentes en 2 puntos P, M, y tangentes a una recta u.

Se hace una circunferencia auxiliar b que pase por P M y corte a u. Si prolongamos la línea PM corta a u en el centro radical CR, desde el que hacemos la tangente t a la circunferencia b. Utilizando el radio como tangente hacemos un arco s hasta que corte a la recta u en el punto K. La solución es la circunferencia a definida por los tres puntos PMK.













Circunferencia incidente en 2 puntos N, M, y tangente a una circunferencia a.

Hacemos la mediatriz p de MN por la que pasará el centro de la circunferencia buscada.
En un punto de p hacemos centro y una circunferencia auxiliar d que corte a la circunferencia a. La recta común de intersección de las dos circunferencias a d, es el eje radical e1 que cortará a otro eje radical e2 (definido por MN) en el centro radical CR.
Desde CR hacemos la tangente h a la circunferencia d y con ese radio encontramos el punto K en la intersección con la circunferencia a. K es el punto de tangencia de la nueva circunferencia b y junto con los puntos M N la determinan.













Circunferencia tangente a otra circunferencia a y tangente a una recta k en un punto P.

El centro de la circunferencia buscada estará sobre la perpendicular m a k por P. Se hace por tanto una circunferencia auxiliar d con centro en cualquier punto de m y secante a la circunferencia a. La recta de intersección e de las circunferencias a d, corta a k en el centro radical CR.
Desde CR se hace una recta tangente a la circunferencia a teniendo así el radio t y el punto de tangencia L, cuyo centro O queda en la intersección de m y la línea CL.












Circunferencia tangente a 2 circunferencias a, b, e incidente en un punto P.

Se hace una circunferencia secante m a las dos dadas a b con centro en P. En las rectas de intersección de las tres circunferencias a, b, m, tenemos las líneas i1, i2 que son los ejes radicales.
Desde el centro radical CR, intersección de los ejes radicales, hacemos la tangente t a la circunferencia a, con este radio t y centro CR construimos la circunferencia v, que corta a las dos circunferencias a b, en los puntos K L. La circunferencia definida por los tres puntos K L P es la circunferencia tangente buscada.














El problema de Apolonio por potencia.

Dadas las circunferencias a b c, se hacen las tangentes exteriores e interiores en sus distintas combinaciones, (en el dibujo se han hecho 2 interiores y una exterior).
La intersección de las tangentes son los centros de homotecia M N Ñ. Pasamos una recta e por estos tres puntos desde la que hacemos los polos de las circunferencias P1 P2 P3. Alineamos estos polos con el centro radical CR; en el punto de corte de P1 con CR tenemos T1 (primer punto de tangencia de la circunferencia buscada), en el punto de corte de P2 con CR tenemos T2 (segundo punto de tangencia de la circunferencia buscada), , en el punto de corte de P3 con CR tenemos T3 (tercer punto de tangencia de la circunferencia buscada), .
T1 T2 T3 define una de las ocho circunferencias tangentes a las tres.