miércoles, 29 de diciembre de 2010

Fundamento de la potencia

Los ángulos de vértices B D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco. Los ángulos de vértices A C son iguales por ser semiinscritos y abarcar el mismo arco.
También: si el ángulo D=C y P es común, A=C.
Con sus ángulos iguales tenemos que los triángulos BCP y DAP son proporcionales. CP/AP=BP/DP CP.DP=BP.AP
Teorema: si hacemos secantes desde P el producto de los segmentos comprendidos entre P y las intersecciones con la circunferencia es constante: PA.PB= PC.PD.
Este teorema aplicable en la potencia de un punto respecto a una circunferencia es el  teorema de las cuerdas.















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El producto constante mencionado anteriormente desde un centro Q lo podemos expresar gráficamente mediante el teorema de cuerdas, tenemos que en la práctica el producto de dos segmentos es un rectángulo en el que la base es la longitud de un segmento y la altura la longitud del otro, el producto de ambos genera un rectángulo en el que en el vértice Q se aplica la potencia respecto a la circunferencia, por tanto todos los rectángulos cuya base y altura cumplen esta condición, son equivalentes, que quiere decir que tienen la misma área. En el dibujo podemos ver rectángulos distintos que poseen la misma área, por ejemplo nótese que la base del rectángulo de color azul es el segmento QE, mientras que la altura TE es en realidad QH, y esto es la potencia del punto Q respecto a la circunferencia, lo mismo sirve para todos los demás rectángulos. 


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En la figura:
PA=PO-OA, PB=PO+OA, P=PA.PB,
P= (PO-OA). (PO+OA)=(PO.PO)-(OA.OA)
La potencia de P respecto a la circunferencia de centro O es igual a la distancia al cuadrado de PO menos el valor del radio OA al cuadrado.













En efecto:
A=B+C según se acaba de demostrar y como C=D, tenemos que A=B+D, como se puede verificar en el dibujo.














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PA.PA=P, La potencia de P respecto a la circunferencia de centro O es igual al cuadrado de la tangente PA desde P a la circunferencia, ya que la tangente es un caso particular de la secante en la que los dos puntos de corte con la circunferencia se confunden o transforman en uno.
Según el teorema del primer apartado P=PB.PB´ , con lo que P=PB.PB´=PA.PA













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Determinar x y conocida su media proporcional b y diferencia MN

MN=y-x, b.b = x.y

Se dibuja una circunferencia de diámetro MN y por M se traza una perpendicular de longitud b. Por el extremo T se traza una recta por el centro O de la circunferencia hasta que la corta en dos puntos. De T a esos dos puntos de corte con la circunferencia es la solución x y. En efecto y-x=MN y según el apartado anterior b.b=x.y, de ello se desprende que el cuadrado naranja y rectángulo amarillo tienen el mismo área.













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Determinar c b conocida su media proporcional a y suma MÑ
MÑ=c+b, a.a =c.b
Se construye una circunferencia de diámetro MÑ. Por M se traza la perpendicular de longitud a y se desplaza el segmento hasta que corte a la circunferencia en un punto, que unimos con M Ñ. Desde el punto de intersección con la circunferencia trazamos una paralela a la recta a que corta a MÑ en N.
MN y NÑ son los segmentos buscados c b.
Se verifica pues que c+b=MÑ y que a.a=c.b según el teorema de la altura:

http://figuras-equivalentes.blogspot.com/

















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Si tenemos dos circunferencias (en color gris en el dibujo) y construimos una nueva circunferencia auxiliar (en color rosa en el dibujo) que corte a las dos anteriores, tenemos que cada circunferencia corta a la anterior en dos puntos GH y JI, por los que construimos dos rectas, la intersección de ambas determina un punto K por el que hacemos una recta perpendicular ER al segmento determinado por la unión de los dos centros BD de las circunferencias dadas.
Si la circunferencia de color rosa incrementa su radio, la secante GH, línea de intersección con la circunferencia A, se va haciendo cada vez más pequeña hasta que se convierte en la tangente KN. La tangente es la posición límite de la recta secante cuya cuerda se hace más pequeña hasta que se convierte en tangente.
 Como esto sucede también para la otra circunferencia C, tenemos que K, un punto cualquiera del eje radical de las dos circunferencias dadas, posee las dos tangentes a las mismas circunferencias de igual longitud.
Este es el fundamento para las construcciones de tangencias mediante potencia, el punto tangencia es invariable en la circunferencia auxiliar cuando ésta incrementa su tamaño, la circunferencia rosa puede seguir creciendo pero el punto M de tangencia persiste hasta llegar a coincidir con N, de esta manera podemos calcular circunferencias tangentes a rectas o recíprocamente.


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Tenemos dos circunferencias (la de color rosa y de centro C y la circunferencia gris del centro A) construimos una circunferencia verde auxiliar de corte a ambas obteniendo como secantes las dos rectas amarillas que se cortan en K. sabemos que la perpendicular por este punto a la unión de los centros de las circunferencias CA es el eje radical llamado CR.
Si por este punto K hacemos las tangentes a las circunferencias dadas obtenemos como puntos de tangencia LM en la circunferencia de centro C y  otros dos en la circunferencias gris, que no vamos a considerar.
Sabemos que al hacer una perpendicular por éste punto al radio de la circunferencia LK obtenemos la tangente LC en color azul que pasa por el centro C. La posición límite de la recta tangente KL a la circunferencia dada de centro C es la recta secante KN, esto quiere decir que cuando la tangente anterior que pasa por el centro C se transforma en la tangente NE que pasa por el centro O, la circunferencia dada se transforma en la circunferencia tangente a la auxiliar en el punto N, y se tiene que los puntos ENO están alineados, ya que entre dos circunferencias tangentes, los centros y el punto de tangencia cumple esa condición y es cuando las dos circunferencias de centro C y O coinciden en tamaño.
dicho de otra forma, cuando las tangentes KL y KN se transforman en una única recta, las dos rectas azules LC y LO también pasan a ser una única recta y por tanto el centro C se transforma en O y la circunferencia rosa dada mayor en la rosa menor, es cuando particularmente tenemos el caso de las dos circunferencias tangentes, la de centro E y la de centro O.




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Como la potencia de un punto Q respecto a una circunferencia es QA.QA y este es un producto constante, el lugar geométrico de todas las tangentes a la circunferencia con esta dimensión AQ es una circunferencia verde que hemos denominado s en el dibujo.
De igual forma si tomamos la misma medida de la tangente en otra circunferencia, por ejemplo la de la derecha, tenemos que el lugar geométrico de las longitudes de esta tangente en torno a la circunferencia t genera una nueva circunferencia -de color magenta en el dibujo. Por tanto la intersección de ambas circunferencias define dos puntos QQ' por los que pasa el eje radical. En consecuencia podemos deducir que el eje radical de dos circunferencias posee los puntos que tienen la misma potencia respecto a ambas.



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Como las tangentes a las circunferencias son iguales desde cualquier punto del eje radical, para construir el eje radical podemos hacer las dos tangentes a las circunferencias y tomar el punto medio entre los puntos de contacto. Por ejemplo, si tomamos la tangente superior, el punto medio M entre los dos puntos de tangencia JE y a continuación tomamos la tangente inferior y el punto medio N de los puntos de tangencia KF, tenemos que la recta azul MN es en realidad el eje radical de ambas circunferencias.
Como podemos observar cuando los dos circunferencias son tangentes el eje radical pasa por el punto de tangencia entre ambas.

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Podemos comprobar también que el eje radical ER es siempre perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias CA. Obviamente, va a estar más cerca de la circunferencia de mayor tamaño.


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Cuando las dos circunferencias se cortan, el eje radical pasa por la intersección de ambas circunferencias, y como siempre, sigue siendo perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias.

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Cuando las dos circunferencias son interiores, como las dos que aparecen en la parte inferior del dibujo, como no podemos hacer las tangentes comunes a ambas, construimos directamente una circunferencia auxiliar cualquiera que corte a ambas circunferencias. Las  2 rectas GH y IJ que determinan los puntos de intersección que se deben prolongar hasta que se corten en un punto K, por el que se hace una recta perpendicular (en color verde) a la prolongación de la recta que definen los centros BC de ambas circunferencias. La recta verde es el eje radical de ambas circunferencias.

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Construir una circunferencia tangente a otras dos (circunferencia verde y circunferencia roja).
Existen infinitas circunferencias que cumplen esta condición, por tanto hacemos una circunferencia auxiliar cualquiera que corte a las dos, tenemos en consecuencia los puntos de intersección GH e IJ. 
Trazamos las dos rectas (en color marrón) que pasan por estos puntos, obteniendo el punto de intersección K por el que se traza una recta perpendicular a la prolongación de los centros AC de las circunferencias.
Trazamos las tangentes a la circunferencia auxiliar desde el punto K obteniendo los dos puntos de tangencia ML. Tomamos como radio la distancia MK y con centro en K hacemos una circunferencia (en el dibujo en color ocre) que corta a las dos circunferencias dadas en los puntos NO.
Como todas los circunferencias tangentes tienen sus centros alineados con el punto de tangencia, por el punto C hacemos una recta que pase por O y por A hacemos una recta que pase por N, la intersección de ambas rectas definen el centro P de la nueva circunferencia c tangente a ambas.





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Un ejemplo práctico del eje radical los podemos observar en el eje de una báscula, este sustenta dos brazos  siempre de igual tamaño en los que se apoyan dos elementos que pudieran ser, para tener una concepción espacial, dos esferas de centros CA. El brazo KF de la báscula que sostiene las dos esferas, soporta mayor peso a la izquierda por lo que está inclinada en esa dirección hacia abajo.



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Si tenemos que una de las dos circunferencias se va reduciendo de tamaño hasta convertirse en un punto, como sucede en el dibujo inferior en el que la circunferencia de la derecha se ha transformado en el punto P, las tangentes comunes a ambos elementos (ahora circunferencia y punto), determinan el eje radical siguiendo los mismos parámetros que los estudiados hasta ahora: pasa por los puntos medios de cada una de las tangentes, el eje radical GI incide en el  punto medio de EP y en el punto medio de PF.
Si construimos una circunferencia auxiliar cualquiera, por ejemplo la de centro D, tenemos que corta a la circunferencia dada en los puntos CH por los que pasamos una recta secante, de igual forma la "intersección" con la circunferencia reducida a un punto P es en realidad la tangente por ese punto a la circunferencia auxiliar que se cortará con la recta CH en un punto J perteneciente al eje radical. Esto es debido a que la tangente es la posición límite de la recta secante y si la circunferencia se ha convertido en un punto la secante se convierte en tangente.
Las tangentes comunes ab a los dos elementos son en este caso las tangentes a la circunferencia desde P, si acercamos este punto hacia la circunferencia hasta tocarla, el eje radical coincide con las dos tangentes ab que se confunden también en una, coincidiendo de esta forma los tres elementos, por tanto el eje radical de un punto P perteneciente a la circunferencia será la tangente por ese punto.






jueves, 28 de octubre de 2010

Fundamento de la potencia en circunferencias tangentes

Para calcular figuras tangentes por el modo de la potencia se opera:
Una circunferencia que, por ejemplo, sea tangente a dos rectas ñ, k, y que pase por un punto U, debe cumplir las siguientes condiciones:
1- Como va ser tangente a dos rectas y en la circunferencia equidistan todos los puntos del centro, el centro debe quedar necesariamente sobre la bisectriz m de ñ y k.
2- Para ello basta con hacer una circunferencia cualquiera (que llamamos auxiliar) tal que pase por U (enunciado del ejercicio) y con centro sobre m.
3- Observamos que por simetría U’ será otro punto de la circunferencia.
4- Todas las circunferencias con centro sobre m y que pasen por U pasarán igualmente por U’ y según vayan creciendo llegará un momento en que toquen a ñ y k.
5- La recta UU’ es un eje común a: b, c, d, al que se denomina eje radical.
6- La intersección de 2 ejes comunes a rectas/ circunferencias es un centro llamado radical F en el que se verifica que las tangentes son iguales t1=t2=t3 como se puede observar en la figura.
7- T3 (PF) determinará el punto P perteneciente a la circunferencia tangente a ñ y a k e incidente en U. Para obtener su centro basta con hacer una perpendicular por P a ñ, donde corte a m es el centro de la circunferencia.















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El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos desde los que todas las tangentes a las circunferencias son iguales. Por ejemplo el punto O, o cualquier punto de p que es el eje radical de a b, se tiene que desde él se pueden trazar las tangentes a ab y son siempre iguales, así, desde O se tiene que t1= t2.
Para calcular el eje radical de 2 circunferencias a b, se hace otra auxiliar c que corte a ambas, por los puntos de intersección se trazan las secantes m n, y en su punto de corte O se hace una perpendicular p a la línea u que une los dos centros de ab. Op es el eje radical de a b.












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Para calcular el centro radical de 3 circunferencias a b h se hace el eje radical de ab y el de bh. La intersección de los dos ejes radicales er1 y er2 es el centro radical CR o punto desde el que todas las tangentes a las 3 circunferencias son iguales: t1=t2=t3=t4.

Ejemplos

En la potencia, como acabamos de ver, seguimos los siguientes pasos:
1- Crear una circunferencia auxiliar arbitraria.
2- Crear ejes radicales.
3- Crear centro radical.
4- Hacer tangente desde el centro radical a la circunferencia dada o auxiliar, obteniendo así los puntos de tangencia.


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Circunferencias tangentes a 2 rectas a, b, y que pasen por un punto P.
Creamos una circunferencia auxiliar arbitraria k cuyo centro esté en la bisectriz e de a b y que pase por P.
Creamos el eje radical PL por donde pasarán todas las circunferencias tangentes a ab e incidentes en P.
Marcamos el centro radical CR, intersección de PL y B.
Desde CR todas las tangentes a las circunferencias que pasan por PL serán iguales.
Hacemos la tangente t desde el centro radical CR a la circunferencia auxiliar k, obteniendo el radio que, con centro en CR nos determina X Z en la intersección con b. Z X son los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas, desde los que se hacen perpendiculares a la recta b, obteniendo en la intersección con e los puntos U O, centros de m n respectivamente.













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Circunferencia incidentes en 2 puntos P, M, y tangentes a una recta u.
Se hace una circunferencia auxiliar b que pase por P M y corte a u. Si prolongamos la línea PM corta a u en el centro radical CR, desde el que hacemos la tangente t a la circunferencia b. Utilizando el radio como tangente hacemos un arco s hasta que corte a la recta u en el punto K. La solución es la circunferencia a definida por los tres puntos PMK.












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Circunferencia incidente en 2 puntos N, M, y tangente a una circunferencia a.
Hacemos la mediatriz p de MN por la que pasará el centro de la circunferencia buscada.
En un punto de p hacemos centro y una circunferencia auxiliar d que corte a la circunferencia a. La recta común de intersección de las dos circunferencias a d, es el eje radical e1 que cortará a otro eje radical e2 (definido por MN) en el centro radical CR.
Desde CR hacemos la tangente h a la circunferencia d y con ese radio encontramos el punto K en la intersección con la circunferencia a. K es el punto de tangencia de la nueva circunferencia b y junto con los puntos M N la determinan.














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Circunferencia  tangente a otra circunferencia a y tangente a una recta k en un punto P.
El centro de la circunferencia buscada estará sobre la perpendicular m a k por P. Se hace por tanto una circunferencia auxiliar d con centro en cualquier punto de m y secante a la circunferencia a. La recta de intersección e de las circunferencias a d, corta a k en el centro radical CR.
Desde CR se hace una recta tangente a la circunferencia a teniendo así el radio t y el punto de tangencia L, cuyo centro O queda en la intersección de m y la línea CL.


























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Circunferencia tangente a otras 3: C d e 

1- Crear una circunferencia auxiliar arbitraria de centro en eje y e incidente en E (en negro).
2- Crear eje radical: línea de intersección de  circunferencia auxiliar  con circunferencia e.
3- Crear centro radical J: intersección de  eje radical con tangente por E
4- Hacer tangente tg desde el centro radical J a la circunferencia  auxiliar, obteniendo así el punto de tangencia k.
5- La intersección L de KD con el eje y es la solución (circunferencia gris de radio LK).


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Circunferencias que pasan por un punto E y son tangentes a una recta C y a una circunferencia B
Construimos una recta perpendicular a la recta dada que pasa por el centro A de la circunferencia, obteniendo dos puntos de intersección con la circunferencia y con la recta, F y G respectivamente.
Hacemos una circunferencia auxiliar -de color ocre- que pase por estos dos puntos FG y por el punto dado E. Los puntos FG son los de intersección de la recta vertical que pasa por A con la circunferencia y la recta dadas.
Hacemos una recta que pasa por H - intersección de la recta vertical con el extremo superior de la circunferencia dada-, y por E, obteniendo en la intersección con C el centro radical CR.
Desde el centro radical hacemos las tangentes a la circunferencia ocre - circunferencia que pasa por los puntos FGE- obteniendo el punto de contacto J. Unimos este punto con el centro radical y tomamos esta medida como radio de una circunferencia nueva que corta a la recta dada en los puntos I K. Éstos son los dos puntos de tangencia de las circunferencias buscadas tangentes a la circunferencia, a la recta y que pasan al mismo tiempo por E.
Para construirlas se explica el método en el siguiente dibujo.




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Circunferencias que pasan por un punto C y son tangentes a una recta rosa
 y a una circunferencia B.
Construimos una recta perpendicular FA a la recta dada -de color rosado- que pasa por el centro A de la circunferencia, obteniendo dos puntos de intersección con la circunferencia y con la recta, H e I, respectivamente.
Hacemos una circunferencia auxiliar -de color verde- que pase por estos dos puntos HI y por el punto dado C.
Hacemos una recta que pasa por F - intersección de la recta vertical con el extremo superior de la circunferencia dada-, con el punto dado C, obteniendo en la intersección con la recta  el centro radical CR.
Desde el centro radical CR hacemos las tangentes a la circunferencia verde - circunferencia que pasa por los puntos CHI- obteniendo el punto de contacto J. Unimos este punto con el centro radical y tomamos esta medida como radio de una circunferencia nueva que corta a la recta dada en los puntos L K. Éstos son los dos puntos de tangencia de las circunferencias buscadas tangentes a la circunferencia, a la recta y que pasan al mismo tiempo por C.
Para determinar la circunferencia mayor, levantamos una perpendicular por K y unimos este punto con C, calculamos la mediatriz de éste segmento y donde corte a la perpendicular anterior tenemos el centro de la circunferencia P, cuyo radio PK define la circunferencia azul que pasa por C y esta tangente a la circunferencia rosa B.
Para calcular la otra circunferencia tangente que aparece en el dibujo en color gris, sabemos que es una circunferencia que pasa por tres puntos, el punto dado C, el punto L por donde hicimos la perpendicular anterior y el punto O, intersección de la recta F-CR con la circunferencia auxiliar verde.
Para calcular una circunferencia que pasa por 3 puntos basta con unirlos mediante dos segmentos y hacer las mediatrices, la intersección de ambas es el centro.



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Construir una circunferencia tangente a la otra y que al mismo tiempo pase por dos puntos dados
Como datos tenemos la circunferencia del centro A y los puntos CD. 
Hacemos la mediatriz del segmento CD y tomamos un punto de esta mediatriz que corte a la circunferencia dada y que al mismo tiempo pase por los puntos dados CD. Prolongamos la recta CD hasta que corte a la prolongación de la recta FG, intersección de la circunferencia auxiliar del centro E y la circunferencia dada.
H es el centro radical de las tres circunferencias, desde este centro hacemos las tangentes a la circunferencia auxiliar, obteniendo el punto I, tomamos como radio HI y hacemos una circunferencia que corta a la dada en J, la circunferencia que pasa por J y los puntos dados CD es una de las soluciones, la otra, que no se muestren el dibujo, pasaría por estos dos últimos puntos y por el punto de intersección de la circunferencia de radio HI con la circunferencia dada.



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Construir las circunferencias tangentes a dos rectas y que al mismo tiempo pasen por un punto A
Hacemos la bisectriz de las dos rectas dadas y tomamos un punto E de esa línea, considerándolo como centro construimos una circunferencia auxiliar de radio EA.
Por A hacemos una recta perpendicular a la bisectriz que corta a la recta dada D en F. Desde F hacemos las tangentes a la circunferencia auxiliar teniendo como punto de contacto G, construimos una circunferencia de radio FG que corta a la recta dada D en los puntos HI. Por estos: hacemos rectas perpendiculares a la recta dada D obteniendo en la intersección con la bisectriz los puntos JK. Construimos las dos circunferencias que aparecen en el dibujo en azul claro tomando como centros JK y como radios JH y KI, respectivamente. Esta es la solución al ejercicio.




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Construir la circunferencia tangente a una recta dada C y que pase por los puntos AB.
Construimos la mediatriz de AB y tomamos un punto E de esta nueva recta considerándolo como centro de una nueva circunferencia auxiliar. Tomamos como radio EA y dibujamos la circunferencia auxiliar (en el dibujo en color gris). Hacemos una recta que pase por los puntos dados AB y la prolongamos hasta que corte a la recta dada C, obteniendo un nuevo punto F. Este es el centro radical de las dos circunferencias anteriores. Desde este punto hacemos las tangentes a la circunferencia gris del centro E. El punto de tangencia G define radio FG de la circunferencia verde que corta a la recta dada en H.
La circunferencia que pasa por los ABH es la solución al ejercicio.



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El problema de Apolonio por potencia.

Dadas las circunferencias a b c, se hacen las tangentes exteriores e interiores en sus distintas combinaciones, (en el dibujo se han hecho 2 interiores y una exterior).
La intersección de las tangentes son los centros de homotecia M N Ñ. Pasamos una recta e por estos tres puntos desde la que hacemos los polos de las circunferencias P1 P2 P3. Alineamos estos polos con el centro radical CR; en el punto de corte de P1 con CR tenemos T1 (primer punto de tangencia de la circunferencia buscada), en el punto de corte de P2 con CR tenemos T2 (segundo punto de tangencia de la circunferencia buscada), , en el punto de corte de P3 con CR tenemos T3 (tercer punto de tangencia de la circunferencia buscada), .
T1 T2 T3 define una de las ocho circunferencias tangentes a las tres.