En la potencia, como acabamos de ver, seguimos los siguientes pasos:
1- Crear una circunferencia auxiliar arbitraria.
2- Crear ejes radicales.
3- Crear centro radical.
4- Hacer tangente desde el centro radical a la circunferencia dada o auxiliar, obteniendo así los puntos de tangencia.
--------------------------------------------------
Circunferencias tangentes a 2 rectas a, b, y que pasen por un punto P.
Creamos una circunferencia auxiliar arbitraria k cuyo centro esté en la bisectriz e de a b y que pase por P.
Creamos el eje radical PL por donde pasarán todas las circunferencias tangentes a ab e incidentes en P.
Marcamos el centro radical CR, intersección de PL y B.
Desde CR todas las tangentes a las circunferencias que pasan por PL serán iguales.
Hacemos la tangente t desde el centro radical CR a la circunferencia auxiliar k, obteniendo el radio que, con centro en CR nos determina X Z en la intersección con b. Z X son los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas, desde los que se hacen perpendiculares a la recta b, obteniendo en la intersección con e los puntos U O, centros de m n respectivamente.
--------------------------------------------------
Circunferencia incidentes en 2 puntos P, M, y tangentes a una recta u.
Se hace una circunferencia auxiliar b que pase por P M y corte a u. Si prolongamos la línea PM corta a u en el centro radical CR, desde el que hacemos la tangente t a la circunferencia b. Utilizando el radio como tangente hacemos un arco s hasta que corte a la recta u en el punto K. La solución es la circunferencia a definida por los tres puntos PMK.
--------------------------------------------------
Circunferencia incidente en 2 puntos N, M, y tangente a una circunferencia a.
Hacemos la mediatriz p de MN por la que pasará el centro de la circunferencia buscada.
En un punto de p hacemos centro y una circunferencia auxiliar d que corte a la circunferencia a. La recta común de intersección de las dos circunferencias a d, es el eje radical e1 que cortará a otro eje radical e2 (definido por MN) en el centro radical CR.
Desde CR hacemos la tangente h a la circunferencia d y con ese radio encontramos el punto K en la intersección con la circunferencia a. K es el punto de tangencia de la nueva circunferencia b y junto con los puntos M N la determinan.
--------------------------------------------------
Circunferencia tangente a otra circunferencia a y tangente a una recta k en un punto P.
El centro de la circunferencia buscada estará sobre la perpendicular m a k por P. Se hace por tanto una circunferencia auxiliar d con centro en cualquier punto de m y secante a la circunferencia a. La recta de intersección e de las circunferencias a d, corta a k en el centro radical CR.
Desde CR se hace una recta tangente a la circunferencia a teniendo así el radio t y el punto de tangencia L, cuyo centro O queda en la intersección de m y la línea CL.
--------------------------------------------------
Circunferencia tangente a otras 3: C d e
1- Crear una circunferencia auxiliar arbitraria de centro en eje y e incidente en E (en negro).
2- Crear eje radical: línea de intersección de circunferencia auxiliar con circunferencia e.
3- Crear centro radical J: intersección de eje radical con tangente por E
4- Hacer tangente tg desde el centro radical J a la circunferencia auxiliar, obteniendo así el punto de tangencia k.
5- La intersección L de KD con el eje y es la solución (circunferencia gris de radio LK).
---------------------------------------
Circunferencias que pasan por un punto E y son tangentes a una recta C y a una circunferencia B
Construimos una recta perpendicular a la recta dada que pasa por el centro A de la circunferencia, obteniendo dos puntos de intersección con la circunferencia y con la recta, F y G respectivamente.
Hacemos una circunferencia auxiliar -de color ocre- que pase por estos dos puntos FG y por el punto dado E. Los puntos FG son los de intersección de la recta vertical que pasa por A con la circunferencia y la recta dadas.
Hacemos una recta que pasa por H - intersección de la recta vertical con el extremo superior de la circunferencia dada-, y por E, obteniendo en la intersección con C el centro radical CR.
Desde el centro radical hacemos las tangentes a la circunferencia ocre - circunferencia que pasa por los puntos FGE- obteniendo el punto de contacto J. Unimos este punto con el centro radical y tomamos esta medida como radio de una circunferencia nueva que corta a la recta dada en los puntos I K. Éstos son los dos puntos de tangencia de las circunferencias buscadas tangentes a la circunferencia, a la recta y que pasan al mismo tiempo por E.
Para construirlas se explica el método en el siguiente dibujo.
--------------------------------------------------
Circunferencias que pasan por un punto C y son tangentes a una recta rosa
y a una circunferencia B.
Construimos una recta perpendicular FA a la recta dada -de color rosado- que pasa por el centro A de la circunferencia, obteniendo dos puntos de intersección con la circunferencia y con la recta, H e I, respectivamente.
Hacemos una circunferencia auxiliar -de color verde- que pase por estos dos puntos HI y por el punto dado C.
Hacemos una recta que pasa por F - intersección de la recta vertical con el extremo superior de la circunferencia dada-, con el punto dado C, obteniendo en la intersección con la recta el centro radical CR.
Desde el centro radical CR hacemos las tangentes a la circunferencia verde - circunferencia que pasa por los puntos CHI- obteniendo el punto de contacto J. Unimos este punto con el centro radical y tomamos esta medida como radio de una circunferencia nueva que corta a la recta dada en los puntos L K. Éstos son los dos puntos de tangencia de las circunferencias buscadas tangentes a la circunferencia, a la recta y que pasan al mismo tiempo por C.
Para determinar la circunferencia mayor, levantamos una perpendicular por K y unimos este punto con C, calculamos la mediatriz de éste segmento y donde corte a la perpendicular anterior tenemos el centro de la circunferencia P, cuyo radio PK define la circunferencia azul que pasa por C y esta tangente a la circunferencia rosa B.
Para calcular la otra circunferencia tangente que aparece en el dibujo en color gris, sabemos que es una circunferencia que pasa por tres puntos, el punto dado C, el punto L por donde hicimos la perpendicular anterior y el punto O, intersección de la recta F-CR con la circunferencia auxiliar verde.
Para calcular una circunferencia que pasa por 3 puntos basta con unirlos mediante dos segmentos y hacer las mediatrices, la intersección de ambas es el centro.
--------------------------------------------------
Construir una circunferencia tangente a la otra y que al mismo tiempo pase por dos puntos dados
Como datos tenemos la circunferencia del centro A y los puntos CD.
Hacemos la mediatriz del segmento CD y tomamos un punto de esta mediatriz que corte a la circunferencia dada y que al mismo tiempo pase por los puntos dados CD. Prolongamos la recta CD hasta que corte a la prolongación de la recta FG, intersección de la circunferencia auxiliar del centro E y la circunferencia dada.
H es el centro radical de las tres circunferencias, desde este centro hacemos las tangentes a la circunferencia auxiliar, obteniendo el punto I, tomamos como radio HI y hacemos una circunferencia que corta a la dada en J, la circunferencia que pasa por J y los puntos dados CD es una de las soluciones, la otra, que no se muestren el dibujo, pasaría por estos dos últimos puntos y por el punto de intersección de la circunferencia de radio HI con la circunferencia dada.
--------------------------------------------------
Construir las circunferencias tangentes a dos rectas y que al mismo tiempo pasen por un punto A
Hacemos la bisectriz de las dos rectas dadas y tomamos un punto E de esa línea, considerándolo como centro construimos una circunferencia auxiliar de radio EA.
Por A hacemos una recta perpendicular a la bisectriz que corta a la recta dada D en F. Desde F hacemos las tangentes a la circunferencia auxiliar teniendo como punto de contacto G, construimos una circunferencia de radio FG que corta a la recta dada D en los puntos HI. Por estos: hacemos rectas perpendiculares a la recta dada D obteniendo en la intersección con la bisectriz los puntos JK. Construimos las dos circunferencias que aparecen en el dibujo en azul claro tomando como centros JK y como radios JH y KI, respectivamente. Esta es la solución al ejercicio.
--------------------------------------------------
Construir la circunferencia tangente a una recta dada C y que pase por los puntos AB.
Construimos la mediatriz de AB y tomamos un punto E de esta nueva recta considerándolo como centro de una nueva circunferencia auxiliar. Tomamos como radio EA y dibujamos la circunferencia auxiliar (en el dibujo en color gris). Hacemos una recta que pase por los puntos dados AB y la prolongamos hasta que corte a la recta dada C, obteniendo un nuevo punto F. Este es el centro radical de las dos circunferencias anteriores. Desde este punto hacemos las tangentes a la circunferencia gris del centro E. El punto de tangencia G define radio FG de la circunferencia verde que corta a la recta dada en H.
La circunferencia que pasa por los ABH es la solución al ejercicio.
--------------------------------------------------
El problema de Apolonio por potencia.
Dadas las circunferencias a b c, se hacen las tangentes exteriores e interiores en sus distintas combinaciones, (en el dibujo se han hecho 2 interiores y una exterior).
La intersección de las tangentes son los centros de homotecia M N Ñ. Pasamos una recta e por estos tres puntos desde la que hacemos los polos de las circunferencias P1 P2 P3. Alineamos estos polos con el centro radical CR; en el punto de corte de P1 con CR tenemos T1 (primer punto de tangencia de la circunferencia buscada), en el punto de corte de P2 con CR tenemos T2 (segundo punto de tangencia de la circunferencia buscada), , en el punto de corte de P3 con CR tenemos T3 (tercer punto de tangencia de la circunferencia buscada), .
T1 T2 T3 define una de las ocho circunferencias tangentes a las tres.
